题目内容
已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中ω为常数,且ω∈(0,1).(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)若将y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的,再将所得图象向右平移个单位,纵坐标不变,得到y=h(x)的图象,若关于x的方程h(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.
【答案】分析:(Ⅰ)利用向量的数量积公式化简函数,结合函数的图象关于直线对称,且ω∈(0,1),即可求得函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)确定h(x)=2sin(2x-),关于x的方程h(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,等价于2sint+k=0在上有且只有一个实数解,由此可得结论.
解答:解:(Ⅰ)∵向量,,
∴=(cos2ωx-sin2ωx,sinωx)•=cos2ωx+sin2ωx=2sin(2ωx+)
∵函数图象关于直线对称,∴2sin(πω+)=±2
∴πω+=kπ+(k∈Z),即ω=k+(k∈Z)
∵ω∈(0,1),∴k=0,ω=
∴f(x)=2sin(x+);
(Ⅱ)若将y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的,再将所得图象向右平移个单位,纵坐标不变,得到y=h(x)=2sin(2x-)的图象,
令2x-=t,∵x∈,∴
∴关于x的方程h(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,即2sint+k=0在上有且只有一个实数解,
即y=2sint,的图象与y=-k有且只有一个交点,
∴-<k≤或k=-2.
点评:本题考查向量的数量积运算,考查函数解析式的确定,考查图象的变换,考查解的问题,确定函数的解析式是关键.
(Ⅱ)确定h(x)=2sin(2x-),关于x的方程h(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,等价于2sint+k=0在上有且只有一个实数解,由此可得结论.
解答:解:(Ⅰ)∵向量,,
∴=(cos2ωx-sin2ωx,sinωx)•=cos2ωx+sin2ωx=2sin(2ωx+)
∵函数图象关于直线对称,∴2sin(πω+)=±2
∴πω+=kπ+(k∈Z),即ω=k+(k∈Z)
∵ω∈(0,1),∴k=0,ω=
∴f(x)=2sin(x+);
(Ⅱ)若将y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的,再将所得图象向右平移个单位,纵坐标不变,得到y=h(x)=2sin(2x-)的图象,
令2x-=t,∵x∈,∴
∴关于x的方程h(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,即2sint+k=0在上有且只有一个实数解,
即y=2sint,的图象与y=-k有且只有一个交点,
∴-<k≤或k=-2.
点评:本题考查向量的数量积运算,考查函数解析式的确定,考查图象的变换,考查解的问题,确定函数的解析式是关键.
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