Question

已知函数，，对于任意的，都有.

（1）求的取值范围

（2）若，证明：（）

（3）在（2）的条件下，证明：

 

Answer 1

（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据函数的表达式，再结合，得，解不等式，又，得到，又取任意正整数，所以；

（2）先用导数进行研究，可到函数在区间上是增函数，再利用数学归纳的方法，可以证明（）；

（3）由，解得，变形得，又，所以，，则在上递增，再通过放缩得

，再依此为依据，进行累加即可得到原式是成立的.

试题解析：（1）由题得

恒成立

故：

（2）

当时，

有结论：函数在（1，）上是单调递增函数。

下面用数学归纳法证明：

①当时，由得 成立。

②假设当时，结论成立。即：

那么当时

这表明当时不等式也成立，综合①②可知：当，时成立

（3）且

令，则在上递增

由（2）知：

又

左边

考点：数列与函数的综合；数列与不等式的综合.