Question

已知函数f（x）=4^x+m•2^x-6m恰有一个零点，则实数m的取值范围是（　　）

A．{-24，0}

B．{-24}

C．{-24}∪（0，+∞）

D．（-∞，-24）∪（0，+∞）

Answer 1

分析：利用换元法将f（x）=4^x+m2^x-6m=0转化为g（t）=t²+mt-6m，然后利用二次函数的图象和性质求解即可．注意分类讨论．

解答：解：设t=2^x，则t＞0，则函数f（x）=4^x+m2^x-6m等价为g（t）=t²+mt-6m在（0，+∞）上只有一个零点即可．
①若△=0，则对称轴-

m

2

＞0，即m²+24m=0且m＜0，解得m=-24．
②若△＞0，则g（0）＜0，即

m2+24m＞0 -6m＜0

，∴

m＞0或m＜-24 m＞0

，即m＞0．
综上m＞0或m=24．
故选：C．

点评：本题主要考查函数零点的应用，利用换元法将函数转化为一元二次函数，要求熟练掌握一元二次函数的图象和性质．