Question

已知函数f(x)=sin2x+

3

sinxcosx-

1

2

（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）求函数f（x）的单调减区间．
（3）求函数取最小值时x的值．

Answer 1

分析：（1）利用降幂公式与辅助角公式将f（x）=sin²x+

3

sinxcosx-

1

2

转化为f（x）=sin（2x-

π

6

），即可求其周期；
（2）利用正弦函数的单调性，通过整体代换即可求得函数f（x）的单调减区间；
（3）利用正弦函数的性质，由2x-

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈Z即可求得函数取最小值时x的值．

解答：解：（1）∵f（x）=sin²x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

）…4分
∴其最小正周期T=

2π

2

=π…6分
（2）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得：kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）…10分
（3）由2x-

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈Z得：
x=kπ-

π

6

，k∈Z．
∴函数取最小值时x的值为：x=kπ-

π

6

，k∈Z…12分

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的单调性，考查分析与运算能力，属于中档题．