Question

如图. 直三棱柱ABC —A1B1C1 中，A1B1= A1C1,点D、E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1

（2）直线A1F∥平面ADE．

 

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）由面面垂直的判定定理可知：要证两个平面互相垂直，只须证明其中一个平面内的一条直线与另一个平面垂直即可；观察图形及已知条件可知：只须证平面ADE内的直线AD与平面BCC1B1垂直即可;而由已知有: AD⊥DE,又在直三棱柱中易知CC1⊥面ABC,而AD平面ABC， CC1⊥AD,从而有AD⊥面B CC1 B1,所以有平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）由线面平行的判定定理可知：要证线面平行，只须证明直线与平面内的某一条直线平行即可；不难发现只须证明A1F∥AD，由（1）知AD⊥面B CC1 B1，故只须证明A1F⊥平面BCC1B1，这一点很容易获得．

试题解析：（1）ABC—A1B1C1是直三棱柱，CC1⊥面ABC，

又AD平面ABC， CC1⊥AD

又AD⊥DE，CC1，DE平面B CC1B1，CC1∩DE=E

AD⊥面B CC1 B1 又AD面ADE

平面ADE⊥平面BCC1B1 6分

（2） A1B1＝ A1C1，F为B1C1的中点，AF⊥B1C1

CC1⊥面A1B1C1且A,F平面A1B1C1

CC1⊥A、F

又CC1，A,F平面BCC1B1，CC1∩B1C1= C1

A1F⊥平面BCC1B1 由（1）知AD ⊥平面BCC1B1

A1F∥AD，又AD平面ADE，A1F平面ADE

A1F∥平面ADE 12分

考点：１．面面垂直；２．线面平行．