Question

【题目】已知等腰梯形中（如图1），， ， 为线段的中点， 为线段上的点， ，现将四边形沿折起（如图2）．

图1 图2

⑴求证： 平面；

⑵在图2中，若，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）连接，由可得，即可证∥且，然后即可证出四边形为平行四边形，进而可证明平面；（2）作于，连接，在中，可得，在中，可得，结合，推出，再由，推出平面，即可得到为与平面所成的角，再根据余弦定理得出，进而可求出的值，即直线与平面所成角的正弦值．

试题解析：（1）证明：连接

∵

∴

∴∥，且

又∵∥，且

∴∥，且

∴四边形为平行四边形

∴∥

又∵面， 面

∴∥面

(2)作于，连接，在中，易知，而

∴，

在中， ，易知

又∵

∴

在中， ， ，

∴

∴

又∵， ， 平面， 平面

∴平面

∴为在平面内的射影

∴为与平面所成的角

在中，易知

∴

在中，

∴，即与平面的所成的角的正弦值为.