Question

【题目】已知点在圆上， 的坐标分别为， ，线段的垂直平分线交线段于点

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设圆与点的轨迹交于不同的四个点，求四边形的面积的最大值及相应的四个点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）矩形的面积的最大值为，此时，

四个点的坐标为： ， ， ， ．

【解析】试题分析：（1）由线段垂直平分线性质得，再根据椭圆定义确定轨迹，最后根据基本量求方程（2）由题意得四边形为矩形，各点关于对称轴对称，因此可设点坐标，表示四边形的面积，再根据基本不等式求最值，最后求对应点坐标

试题解析：解：（Ⅰ）由已知得： ，而，

所以点的轨迹是以， 为焦点，长轴长的椭圆，

设，所以点的轨迹的方程： ．

（Ⅱ）由对称性可知，四边形为矩形，不妨设为椭圆上第一象限的点，

则，

而， ，且，

所以，

当且仅当，即， 时，取“”，

所以矩形的面积的最大值为，此时，

四个点的坐标为： ， ， ， ．