Question

（08年杨浦区测试）设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，且、两点坐标分别为，是抛物线的准线上的一点，是坐标原点．若直线、、的斜率分别记为：、、，（如图）

   （1）若，求抛物线的方程．

   （2）当时，求的值．

   （3）如果取， 时，

（文科考生做）判定和的值大小关系．并说明理由．

   （理科考生做）判定和的值大小关系．并说明理由．

通过你对以上问题的研究，请概括出在怎样的更一般的条件下，使得你研究的结果（即和的值大小关系）不变，并证明你的结论．

 

 

Answer 1

解析：（1）设过抛物线的焦点的直线方程为 

或（斜率不存在）              ……………………1分

则      得     …………2分

当（斜率不存在）时，则

又   ……………………4分

所求抛物线方程为                         

（2）[解] 设 

由已知直线、、的斜率分别记为：、、，得

   且     …………6分 

故

当时    4                ………………10分

（文科） [解]（3）和的值相等  …………12分

如果取， 时， 则由（2）问得

  即   ， 又由（2）问得

设

1）若轴，则   ……………………13分

 

2）若＞0  则  

同理可得

而                                   

则  ，易知都是锐角

        …………………………16分

3）若＜0，类似的也可证明.

综上所述    即和的值相等  …………18分

（理科） [解]（3）和的值相等   …………10分

如果取， 时， 则由（2）问得

  即   ， 又由（2）问得

设

1）若轴，则   ………………11分

2）若＞0  则  

同理可得

而   

即，易知都是锐角

           …………………………12分

3）若＜0，类似的也可证明.

综上所述    即和的值相等  …………13分

[解一]（3）概括出的条件：（即 ）或，等

                                           …………………………14分

  即   ， 又由（2）问得

设

1）若轴，则  ………………15分

2）若＞0  则  

同理可得

而 ，则；易知

都是锐角

      …………………………17分

3）若＜0，类似的也可证明.

综上所述    即和的值相等 ……18分

[解二] （略）（其它证法可参考上述评分标准给分）