Question

已知ω＞0，

a

=(2sinωx+cosωx，2sinωx-cosωx)，

b

=(sinωx，cosωx)若f(x)=

a

•

b

，且f（x）图象上相邻的两个对称轴的距离是

π

2

．
（1）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．
（2）锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=2，a=

2

，b=

3

，求角C．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积及二倍角公式，辅助角公式化简函数，利用函数的最小正周期，可得函数的解析式，进而可求函数的最值；
（2）根据f（A）=2，求出A，再利用正弦定理，即可求得结论．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=（2sinωx+cosωx）sinωx+（2sinωx-cosωx）cosωx=3sinωxcosωx+2sin²ωx-cos²ωx=

3

2

（sin2ωx-cos2ωx）+

1

2

=

3

2

2

sin（2wx-

π

4

）+

1

2

∵ω＞0，f（x）的最小正周期为π，∴ω=1；
∴f（x）=

3

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，x∈[0，

π

2

]
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
∴2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，f（x）取得最小值-1；2x-

π

4

=

π

2

时，即x=

3π

8

时，f（x）取得最大值

3 2 +1

2

；
（2）∵f（A）=2，∴

3

2

2

sin（2A-

π

4

）+

1

2

=2，∴A=

π

4

∵a=

2

，b=

3

，∴

2

sin45°

=

3

sinB

，∴sinB=

3

2

∵B是锐角，∴B=60°，∴C=75°．

点评：本题考查解三角形，着重考查三角函数中的恒等变换应用及正弦定理，体现化归思想与方程思想的作用，属于中档题．