Question

已知函数f（x）=3x²-2x+1，g（x）=ax²，对任意的正实数x，f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是

a≤2

．

Answer 1

分析：由已知，不等式x^2_-2ax+1≥0恒成立，即不等式a≤

3x 2-2x+1

x 2

对任意的正实数x恒成立．设a（x）=

3x 2-2x+1

x 2

，即a（x）=3-

2

x

+

1

x 2

，将

1

x

看成整体，利用二次函数的性质求出它的最小值为2，从而得出实数a的取值范围．

解答：解：不等式f（x）≥g（x）
即3x²-2x+1≥ax²对任意的正实数x恒成立，
即不等式a≤

3x 2-2x+1

x 2

对任意的正实数x恒成立．
设a（x）=

3x 2-2x+1

x 2

，即a（x）=3-

2

x

+

1

x 2

，当x＞0时，它的最小值为2，
∴a≤2
故答案为a≤2．

点评：本题考查不等式（函数）恒成立问题．由于本题是二次不等式，故采用数形结合的思想，利用根据二次函数图象与二次不等式解的关系来解决．要掌握好“三个二次”的关系，以及其中蕴含的数形结合、转化的思想方法．