Question

定义在R上的函数y=f（x）满足y=（x+

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）是偶函数，（x-

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）f′（x）＞0，且x₁＜x₂，则“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充分必要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：导数的综合应用,简易逻辑

分析：先求出对称轴，然后根据（x-

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）f′（x）＞0可判定函数在对称轴两侧的单调性，最后根据函数的单调性可验证是充要条件．

解答： 解：∵函数y=f（x）满足f（x+

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）是偶函数，
∴f（

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-x）=f（

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+x），得函数图象关于直线x=

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对称，
当x＞

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时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x＜

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时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x₁＜x₂时，若f（x₁）＞f（x₂）则有x₁＜x₂＜5-x₁，
∴x₁+x₂＜5成立，故充分性成立．
当x₁+x₂＜5时，必有x₂＜5-x₁成立，又因为x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要性成立，
故“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的充要条件，
故选：C．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系和充分、必要条件的判定．涉及的知识点较多，综合性较强．