Question

8．若关于x的不等式ln（1+x）≥$\frac{ax}{1+x}$恒成立，求参数a的范围．

Answer 1

分析 若不等式ln（1+x）≥$\frac{ax}{1+x}$恒成立，f（x）=（1+x）ln（1+x）≥ax恒成立，利用导数法分析函数的图象和性质，数形结合可得答案．

解答 解：若不等式ln（1+x）≥$\frac{ax}{1+x}$恒成立，
f（x）=（1+x）ln（1+x）≥ax恒成立，
∵f′（x）=ln（1+x）+1=0时，x=$\frac{1}{e}$-1，
当x∈（-1，$\frac{1}{e}$-1）时，f′（x）＜0，函数为减函数，
当x∈（$\frac{1}{e}$-1，+∞）时，f′（x）＞0，函数为增函数，
故f（x）的图象如下图所示：

又由直线y=ax的图象过原点，f′（0）=1
故当a=1时，f（x）=（1+x）ln（1+x）≥ax恒成立，
即不等式ln（1+x）≥$\frac{ax}{1+x}$恒成立．

点评 本题考查的知识点是恒成立问题，数形结合思想，导数法分析函数的单调性，难度中档．