Question

在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).

    某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x＞0)的收入函数为R(x)=3 000x-20x²(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元),利润是收入与成本之差.

(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x).

(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值?

(3)你认为本题中边际函数MP(x)取最大值的实际意义是什么?

Answer 1

分析：本题是信息型应用题,解决的关键是MP(x)表达式的确定及其在实际问题中的作用的理解.

解：(1)P(x)=R(x)-C(x)=3 000x-20x²-(500x+4 000)=-20x²+2 500x-4 000(x∈［1,100］,x∈N).

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)²+2 500(x+1)-4 000-(-20x²+2 500x-4 000)=2 480-40x(x∈［1,100］,x∈N).

(2)P(x)=-20(x-)²+74 125,

    当x=62或x=63时,P(x)_max=74 120(元).

    因MP(x)=2 480-40x是减函数,所以当x=1时MP(x)_max=2 440(元).

    故利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相等的最大值.

(3)边际利润函数MP(x)当x=1时取最大值,说明生产第2台与第1台的总利润差最大,即第二台报警系统利润最大.MP(x)=2 480-40x是减函数,说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润相比在减少.