Question

【题目】已知抛物线（）上的两个动点和，焦点为F.线段的中点为，且点到抛物线的焦点F的距离之和为8

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若线段的垂直平分线与x轴交于点C，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先利用中点公式可得,再根据抛物线的定义可得,进而求解；

（2）,为点到直线的距离,可设直线:（）,则的中垂线方程为:,可得到点的坐标,将直线的方程与抛物线联立,利用弦长公式求得弦长,再利用点到直线距离公式求得,则可得到的面积为关于的函数,进而利用导函数求得最大值即可.

解:（1）由题意知,

则,

,

抛物线的标准方程为

（2）设直线:（）,

由,得,

,即,

即,

,

设的中垂线方程为:,即,

可得点C的坐标为,

直线:,即,

点C到直线的距离,

令,则（）,

令,

,令,则,

在上；在上,

故在单调递增,单调递减,

当,即时,