题目内容

双曲线 $数学公式$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是双曲线上一点，PF₁的中点在y轴上，线段PF₂的长为 $数学公式$ ，则该双曲线的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：根据题意，得OQ是△PF₁F₂的中位线，得PF₂⊥F₁F₂，Rt△PF₁F₂中算出|PF₁|= $\text{[math]}$ +2a，|F₁F₂|=2c=2 $\text{[math]}$ ，利用勾股定理列出关于a的方程，解出a=3，从而c= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得到双曲线的离心率．
解答：

解：∵PF₁的中点Q在y轴上，O为F₁F₂的中点
∴OQ是△PF₁F₂的中位线，得OQ∥PF₂，
由此可得PF₂⊥F₁F₂，
根据双曲线的定义，得|PF₁|=|PF₂|+2a= $\text{[math]}$ +2a，
而|F₁F₂|=2c=2 $\text{[math]}$
∴Rt△PF₁F₂中，|PF₂|²+|F₁F₂|²=|PF₁|²，
即 $\text{[math]}$ +4（a²+4）=（ $\text{[math]}$ +2a）²，解之得a=3
∴c= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得双曲线的离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选：D
点评：本题给出双曲线一条焦半径的中点恰好在y轴上，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于中档题．

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