Question

4．设函数f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x-a．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若f（x）的图象与x轴有三个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0得出增区间，解不等式f′（x）＜0得出减区间；
（2）求出f（x）的极值，令极大值大于0，极小值小于0解出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-9x+6，
令f′（x）＞0得3x²-9x+6＞0，解得x＜1或x＞2，
令f′（x）＜0得3x²-9x+6＜0，解得1＜x＜2．
∴f（x）的增区间为（-∞，1），（2，+∞），减区间为（1，2）．
（2）由（1）知 当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=$\frac{5}{2}-a$；
当x=2时，f（x）取得极小值f（2）=2-a．
∵f（x）的图象与x轴有三个交点．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}-a＞0}\\{2-a＜0}\end{array}\right.$，解得：$2＜a＜\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了函数单调性，极值与导数的关系，函数零点的个数判断，属于中档题．