Question

已知函数，，k为非零实数.
（Ⅰ）设t=k²,若函数f(x),g(x)在区间(0,+∞)上单调性相同，求k的取值范围;
（Ⅱ）是否存在正实数k，都能找到t∈[1,2],使得关于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且仅有一个实数根，且在[－5,－1]上至多有一个实数根.若存在，请求出所有k的值的集合；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）当k>0时，因为f(x)=kx,在(0,+∞)单调递增，所以在(0,+∞)单调递增
但在(0,+∞)上，，所以不符合已知
当k<0时，因为在(0,+∞)上，
，所以在(0,+∞)单调递减，所以f(x)=kx,在(0,+∞)单调递减
则k<0符合题意。
（2）

因为
，所以存在符合题意的k。

本试题考查了运用导数来研究函数的单调性，并求解参数的取值范围。与此同时还能对于方程解的问题，转化为图像与图像的交点问题来长处理的数学思想的运用。