题目内容

二次函数f（x）=px²+qx+r中实数p、q、r满足 $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ =0，其中m＞0，求证：
（1）pf（ $数学公式$ ）＜0；
（2）方程f（x）=0在（0，1）内恒有解．

证明：（1）pf（ $\text{[math]}$ ）
=p[p（ $\text{[math]}$ ）²+q（ $\text{[math]}$ ）+r]
=pm[ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ]
=pm[ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ]
=p²m[ $\text{[math]}$ ]
=p²m[- $\text{[math]}$ ]．
由于f（x）是二次函数，故p≠0．
又m＞0，所以pf（ $\text{[math]}$ ）＜0．
（2）由题意，得f（0）=r，f（1）=p+q+r．
①当p＞0时，由（1）知f（ $\text{[math]}$ ）＜0．
若r＞0，则f（0）＞0，又f（ $\text{[math]}$ ）＜0，
∴f（x）=0在（0， $\text{[math]}$ ）内有解；
若r≤0，则f（1）=p+q+r=p+（m+1）（- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+r= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞0，
又f（ $\text{[math]}$ ）＜0，
所以f（x）=0在（ $\text{[math]}$ ，1）内有解．
因此方程f（x）=0在（0，1）内恒有解．
②当p＜0时，同样可以证得结论．
分析：（1）把x= $\text{[math]}$ 代入原函数，利用题设中p、q、r的关系进一步证明．
（2）先对p进行分类讨论，再对r进行分类讨论．
点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p≠0，若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．
（2）对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的．本题的证明中，先对p分类，然后对r分类显然是比较好的．