Question

已知二次函数f（x）=x²-a|x-2|+a．
（1）求证：y=f（x）的图象恒过定点P，Q；
（2）若y=f（x）的最小值为0，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）根据绝对值的意义可得到当x≥2时，f（x）=x²-ax+3a当x＜2时，f（x）=x²+ax-a要使y=f（x）的图象恒过定点P，Q则a的值对函数无影响则需将含a的式子合并然后系数为0再求出相应的y值即得到定点．
（2）由（1）可得f（x）在x=

a

2

或x=-

a

2

时有函数的最小值故将x=

a

2

，x=-

a

2

代入求出a但要结合x的范围取舍a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-a|x-2|+a
∴当x≥2时，f（x）=x²-ax+3a=x²+a（3-x）①，可知，当x=3时，a的值对函数无影响，所以函数过定点（3，9）
当x＜2时，f（x）=x²+ax-a=x²+a（x-1）②，所以，又过定点（1，1）
（2）由（1）可知，当x=

a

2

或x=-

a

2

时有函数的最小值，当为①时，x=

a

2

，y=0，解得：a=0或a=

4

3

而当a=0时x=0＜2，当a=

4

3

时x∈∅
当为②时，x=-

a

2

，y=0，解得：a=0或a=-4
综上：a=0或-4

点评：本题主要考查了分段函数的最值及恒成立问题．第一问解题的关键要分析出要恒过定点即与a无关即将含a的式子合并然后系数为0，第二问要分析出当x=

a

2

或x=-

a

2

时有函数的最小值再代入求值时但要注意a的值要在限制条件x≥2，x＜2下进行取舍！