Question

【题目】如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面 为的中点, 面．

(1)求的长；

(2)求证：面面；

(3)求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接,则为梯形的中位线， ，先证明四边形为平行四边形， ，可得；（2）由平面面，结合可得面，因为 ，所以面，从而得面面；(3) 以为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（1）取的中点，连接,则为梯形的中位线，

又,所以

所以四点共面,因为面，且面面所以

所以四边形为平行四边形， 所以

（2）由题意可知平面面；又且平面

所以面，因为 所以面

又面， 所以面面；.

（3）以为原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系设为的中点，则,易证： 平面

平面的法向量为

设平面的法向量为，

由得 所以

所以，由所求二面角为锐二面角角，所以平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值．

【方法点晴】本题主要考面面垂直的证明、线面平行的定断与性质以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.