Question

（14分）（2011•湖北）平面内与两定点A₁（﹣a，0），A₂（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁、A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．
（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（Ⅱ）当m=﹣1时，对应的曲线为C₁；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C₂，设F₁、F₂是C₂的两个焦点．试问：在C₁上，是否存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

试题分析：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），求出直线A₁、MA₂M的斜率，并且求出它们的积，即可求出点M轨迹方程，根据圆、椭圆、双曲线的标准方程的形式，对m进行讨论，确定曲线的形状；（Ⅱ）由（I）知，当m=﹣1时，C₁方程为x²+y²=a²，当m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，C₂的焦点分别为F₁（﹣a，0），F₂（a，0），假设在C₁上存在点N（x₀，y₀）（y₀≠0），使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，的充要条件为，求出点N的坐标，利用数量积和三角形面积公式可以求得tanF₁NF₂的值．
解：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），
当x≠±a时，由条件可得，
即mx²﹣y²=ma²（x≠±a），
又A₁（﹣a，0），A₂（a，0）的坐标满足mx²﹣y²=ma²．
当m＜﹣1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；
当m=﹣1时，曲线C的方程为x²+y²=a²，C是圆心在原点的圆；
当﹣1＜m＜0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；
当m＞0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线；
（Ⅱ）由（I）知，当m=﹣1时，C₁方程为x²+y²=a²，
当m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，C₂的焦点分别为F₁（﹣a，0），F₂（a，0），
对于给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），C₁上存在点N（x₀，y₀）（y₀≠0），使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，
的充要条件为
由①得0＜|y₀|≤a，由②得|y₀|=，
当0＜≤a，即，或时，
存在点N，使S=|m|a²，
当，即，或时，不存在满足条件的点N．
当m∈[，0）∪（0，]时，由=（﹣a﹣x₀，﹣y₀），=（a﹣x₀，﹣y₀），
可得=x₀²﹣（1+m）a²+y₀²=﹣ma²．
令=r₁，||=r₂，∠F₁NF₂=θ，
则由=r₁r₂cosθ=﹣ma²，可得r₁r₂=，
从而s=r₁r₂sinθ==﹣，于是由S=|m|a²，
可得﹣=|m|a²，即tanθ=，
综上可得：当m∈[，0）时，在C₁上存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，且tanθ=2；
当m∈（0，]时，在C₁上存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，且tanθ=﹣2；
当时，不存在满足条件的点N．
点评：此题是个难题．考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想．其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．