Question

【题目】把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为,容积为．

（1）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；

（2）求当为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），定义域为．（Ⅱ）容器高为时，容器的容积最大为.

【解析】

试题（Ⅰ）根据容器的高为x，求得做成的正三棱柱形容器的底边长，从而可得函数V（x）的解析式，函数的定义域；（Ⅱ）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点，先求V（x）的极值点，再确定极大值就是最大值即可

试题解析：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为

则.

函数的定义域为.

（Ⅱ）实际问题归结为求函数在区间上的最大值点.

先求的极值点.

在开区间内，

令，即令，解得.

因为在区间内，可能是极值点. 当时，；

当时，.

因此是极大值点，且在区间内，是唯一的极值点，

所以是的最大值点，并且最大值

即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为.