Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长为4，离心率e=

2

2

（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=3分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长为4，离心率e=

2

2

，可得2a=4，

c

a

=

2

2

，再利用b²=a²-c²即可得出．
（2）由于直线AS的斜率k存在，且k＞0，可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M（3，5k），与椭圆的方程联立可得点S的坐标，进而得到直线BS的方程，再与直线x=3的方程联立即可得出点N的坐标，可得|MN|关于k的表达式，利用基本不等式即可得出．

解答：解：（1）由题意得2a=4，解得a=2，
∵e=

c

a

=

2

2

，∴c=

2

，b2=22-(

2

)2=2，
故所求的椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，
可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M（3，5k），
由

y=k(x+2) x2 4 + y2 2 =1

得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0．
设S（x₁，y₁），则(-2)×x1=

8k2-4

1+2k2

，得x1=

2-4k2

1+2k2

，从而y1=

4k

1+2k2

，
即S(

2-4k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

)，
又由B（2，0）可得直线SB的方程为

y-0

4k 1+2k2 -0

=

x-2

2-4k2 1+2k2 -2

，
化简得y=-

1

2k

(x-2)，
由

y=- 1 2k (x-2) x=3

得

x=3 y=- 1 2k

，∴N(3，-

1

2k

)，
故|MN|=|5k+

1

2k

|，
又∵k＞0，∴|MN|=5k+

1

2k

≥2

5k• 1 2k

=

10

，
当且仅当5k=

1

2k

，即k=

10

10

时等号成立，
∴k=

10

10

时，线段MN的长度取最小值

10

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到方程组的解、直线的点斜式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．