Question

已知不等式|x+1|-|x-3|＞a．
（1）若不等式有解，求a的取值范围；
（2）若不等式的解集为R，求a的取值范围；
（3）若不等式的解集为∅，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最值，由a小于f（x）的最大值，即可求得（1）；
由a小于f（x）的最小值，即可求得（2）；由a不小于f（x）的最大值，即可求得（3）．

解答： 解：令f（x）=|x+1|-|x-3|，
由||x+1|-|x-3||≤|x+1-（x-3）|=4，
即有-4≤|x+1|-|x-3|≤4，
即有f（x）的最小值为-4，最大值为4．
（1）若不等式有解，则a＜f（x）_max，即有a＜4，即为a的取值范围是（-∞，4）；
（2）若不等式的解集为R，则a＜f（x）_min，即有a＜-4，即为a的取值范围是（-∞，-4）；
（3）若不等式的解集为∅，则a≥f（x）_max，即有a≥4，即为a的取值范围是[4，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的性质，考查不等式恒成立与有解以及不存在的区别，考查运算能力，属于中档题和易错题．