Question

设an=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

用数学归纳法证明：a₁+a₂+…+a_n-1=na_n-n，其中n≥2且n∈N^*．

Answer 1

分析：用数学归纳法证明的步骤证明，验证n=1时等式成立，然后假设n=k（k≥2，k∈N^*）时，等式成立，证明n=k+1时等式也成立即可．

解答：证明：
（1）当n=1时，等式左边=a₁=1，右边=2an-2=2×1

1

2

-2=1，等式成立．
（2）假设当n=k（k≥2，k∈N^*）等式也成立，即a₁+a₂+…+a_k-1=ka_k-k
当n=k+1时，a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=（ka_k-k）+a_k=（k+1）a_k-k=(k+1)(ak+1-

1

k+1

)-k=(k+1)ak+1-(k+1)，等式仍成立．
由（1）、（2）可知，对任意的n≥2，n∈N^*，原等式均成立．

点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤和方法，注意证明n=k+1时，必须用上假设，这是易错点．