Question

设an=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)，是否存在整式g（n）使得a₁+a₂+…+a_n-1=g（n）•（a_n-1）对不小于2的一切自然数n都成立，并证明你的结论．

Answer 1

分析：进而求得an-an-1=

1

n

(n≥2) 最后（n-1）a_n-1-（n-2）a_n-2=na_n-n=n（a_n-1），判断存在关于n的整式g（n）=n

解答：解：由题意，an-an-1=

1

n

(n≥2)，∴na_n-（n-1）a_n-1=a_n-1+1，（n-1）a_n-1-（n-2）a_n-2=a_n-2+1，…，2a₂-a₁=a₁+1，叠加得：a₁+a₂+…+a_n-1=n（a_n-1），对不小于2的一切自然数n都成立，g（n）=n
故存在关于n的整式g（x）=n，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立．
下用数学归纳法证明：
①当n=2时，左边a₁=1，右边=2×（a₂-1）=1，此时等式成立．
②假设当n=k，（k＞2）成立，即a₁+a₂+…+a_k-1=k（a_k-1），
则当n=k+1时，a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=k（a_k-1）+a_k=（k+1）a_k-k=（k+1）（a_k-

k

k+1

）=（k+1）（a_k+1-1）成立．
即由①②知，等式对任意的n＞2，都恒成立．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．即数列与不等式相结合的问题考查，考查了学生综合思维能力．