Question

数列{a_n}满足a₁=2，an+1=

2n+1an

(n+ 1 2 )an+2n

(n∈N*)．
（1）设bn=

2n

an

，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

1

n(n+1)an+1

，数列{c_n}的前n项和为S_n，求出S_n并由此证明：

5

16

≤Sn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，结合条件，可得b_n+1-b_n=n+

1

2

，利用叠加法，可求数列{b_n}的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用叠加法求和，利用数列的单调性，即可得到结论．

解答：解：（1）∵an+1=

2n+1an

(n+ 1 2 )an+2n

(n∈N*)，
∴

2n+1

an+1

-

2n

an

=n+

1

2

∵bn=

2n

an

∴b_n+1-b_n=n+

1

2

∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+…+（b_n-b_n-1）=b1+

n2-1

2

∵bn=

2n

an

，a₁=2，
∴b₁=1
∴b_n=

n2+1

2

；
（2）由（1）知，a_n=

2n+1

n2+1

，∴an+1=

2n+2

(n+1)2+1

，
∴cn=

1

n(n+1)an+1

=

1

2

[

1

2n+1

+

1

n×2n

-

1

(n+1)×2n+1

]
∴S_n=

1

2

×

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

1

2

[

1

2

-

1

(n+1)×2n+1

]=

1

2

[1-(

1

2

)n+1×

n+2

n+1

]
∵(

1

2

)n+1×

n+2

n+1

=(

1

2

)n+1×(1+

1

n+1

)得到递减，
∴(

1

2

)n+1×

n+2

n+1

≤(

1

2

)1+1×

1+2

1+1

=

3

8

∴

5

16

≤

1

2

[1-(

1

2

)n+1×

n+2

n+1

]＜

1

2

，即

5

16

≤Sn＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查叠加法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．