Question

（2012•杭州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量

m

=（a，

1

2

），

n

=（cosC，c-2b），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的垂直，推出数量积为0，通过三角形内角和以及两角和的正弦函数，确定角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，利用正弦定理求出b、c的表达式，通过三角形的内角和以及两角和的正弦函数化简表达式，根据角的范围，确定三角函数的范围，然后求△ABC的周长l的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意

m

⊥

n

．可知：

m

•

n

=0，
即acosC+

1

2

c=b，得sinAcosC+

1

2

sinC=sinB．
又sinB=sin（A+C）=sinAcosB+cosAsinC．
∴

1

2

sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

．
又0＜A＜π∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由正弦定理得：b=

asinB

sinA

=

2

3

sinB，c=

2

3

sinC，
l=a+b+c=1+

2

3

(sinB+sinC)=1+

2

3

(sinB+sin(A+B))
=1+2（

3

2

sinB+

1

2

cosB）
=1+2sin（B+

π

6

）．
∵A=

π

3

．
∴B∈(0，

2π

3

)，∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴sin（B+

π

6

）∈(

1

2

，1]．
故△ABC的周长l的范围为（2，3]．

点评：本题考查正弦定理，两角和的正弦函数，向量的数量积等知识的应用，考查计算能力．