Question

如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.

(Ⅰ) 求证：平面；

(Ⅱ) 求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)证明见解析(2) －

解析:

（Ⅰ）由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．

建立空间直角坐标系如图，则, ．

由M为PB中点，∴．

∴．

∴，

．

∴PA⊥DM，PA⊥DC．   ∴PA⊥平面DMC．   

（Ⅱ）)．令平面BMC的法向量，

则，从而x+z=0；  ……①,  ，从而． ……②

由①、②，取x=??1，则．   ∴可取．

由(II)知平面CDM的法向量可取，

∴． ∴所求二面角的余弦值为－．