Question

如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.

(Ⅰ)求与底面所成角的大小；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

Answer 1

解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平

移法  求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法 

答案：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．

又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．

连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角．

∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=．

∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．               ……6分

(II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．

建立空间直角坐标系如图，则, ．

由M为PB中点，∴．

∴．

∴，

．

∴PA⊥DM，PA⊥DC．   ∴PA⊥平面DMC．                                             ……4分

(III)．令平面BMC的法向量，

则，从而x+z=0；  ……①,  ，从而． ……②

由①、②，取x=−1，则．   ∴可取．

由(II)知平面CDM的法向量可取，

∴． ∴所求二面角的余弦值为－．    ……6分

法二：（Ⅰ）方法同上                               

（Ⅱ）取的中点，连接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，

则，又，则，即，

又在中，中位线，，则，

则四边形为，所以，在中，，

则，故而，

则

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则为二面角的平面角，

在中，易得，，

故，所求二面角的余弦值为