Question

【题目】已知元素为实数的集合满足下列条件：①， ；②若，则．

（I）若，求使元素个数最少的集合；

（II）若非空集合为有限集，则你对集合的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的元素个数为的倍数;证明见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）将分别代入②可得， ， ， ，再将分别代入②可得； ，故所求为. （Ⅱ）设 代入②有， ， ，反证法证明， ， 两两不同， ，；再设 ，同理得；所以的元素个数为的倍数.

试题解析：

解：（I），则， ，可得； ，则， ，可得，

∴，使元素个数最少的集合为．

（II）非空有限集的元素个数是的倍数．

证明如下：

（）设则， 且，则， ，

假设，则无实数根，故．

同理可证， ， 两两不同．

即若有，则必有．

（）若存在，必有

． ．

于是．

上述推理还可继续，由于为有限集，故上述推理有限步可中止，

∴的元素个数为的倍数．