Question

一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为V₁，圆柱的体积为V₂，且V₁=kV₂，则k_min=

 

．

Answer 1

分析：设球半径为r，根据圆柱的底面半径与内切球半径相等，高等于内切球直径，我们易求出满足条件的圆柱的体积，设圆锥底半径为R=rcotα，则我们易求出圆锥的体积（含参数α），进而可以求出K的表达式，再利用函数值域的求法，我们易求出满足条件k_min．

解答：解：设球半径为r，圆柱的底面半径也为r，高为2r，
则V₂=2πr³．
设圆锥底半径为R=rcotα，高H=Rtan2α．
则V₁=

1

3

πR²H=

1

3

（πr³cos²αtan2α）
则V₁：V₂=（cos²αtan2α）：6．
∵cos²αtan2α=

2

tan2α-tan4α

则当tan²α=

1

2

，即tanα=

2

2

时，cos²αtan2α取最小值8，
此时k_min=

4

3

故答案为：

4

3

点评：本题考查的知识点是圆锥的体积，圆锥的体积，及圆柱与圆柱的内切球，其中设球半径为r，进而给出圆柱的体积及圆锥的体积是解答本题的关键．