Question

如图，一个圆锥和一个圆柱组成了一个几何体，其中圆锥和圆柱的底面半径相同，点O，O′，分别是圆柱的上下底面的圆心，AB，CD都为直径，点P，A，B，C，D五点共面，点N是弧AB上的任意一点（点N与A，B不重合），点M为BN的中点，N′是弧CD上一点，且NN'∥AD，PA=AB=BC=2．
（1）求证：BN⊥平面POM；
（2）求证：平面POM∥平面ANN′D；
（3）若点N为弧AB的三等分点且

AN

=

1

3

AB

，求面ANP与面POM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）证明BN⊥平面POM，连接ON，只需证明BN⊥OM，BN⊥PM，利用线面垂直的判定可证；
（2）连接AN，证明ON∥平面ANN′D，PO∥平面ANN′D，利用面面平行的判定，即可证明平面POM∥平面ANN′D；
（3）过点P作直线l∥OM，取AN中点E，连接PE、EO，可得∠EPO为平面PAN与平面POM所成角，求出PE，OE，即可求得
面ANP与面POM所成角的正弦值．

解答：（1）证明：连接ON
∵ON=OB，M为BN的中点，∴△ONB中，BN⊥OM
∵PN=PB，M为BN的中点，∴△PNB中，BN⊥PM
∵OM∩PM=M，
∴BN⊥平面POM；
（2）证明：连接AN
∵O，M分别为AB，BN的中点，∴OM∥AN
∵OM?平面ANN′D，AN?平面ANN′D
∴ON∥平面ANN′D
∵PO∥NN′，PO?平面ANN′D，NN′?平面ANN′D
∴PO∥平面ANN′D
∵OM∩PO=0，
∴平面POM∥平面ANN′D；
（3）解：过点P作直线l∥OM，∵点P在平面POM内，∴l在平面POM内．
又∵AN∥OM，∴直线l∥AN，∴l在平面PAN内．
∴l为平面PAN与平面POM的交线，
取AN中点E，连接PE、EO，
∵PA=PN，∴PE⊥AN，∴PE⊥直线l，
又∵PO⊥OM，∴PO⊥直线l，∴∠EPO为平面PAN与平面POM所成角．
当

AN

=

1

3

AB

时，AN=AO=1，
∴直角三角形PAE中，PE=

PA2-AE2

=

22-( 1 2 )2

=

15

2

，
又△ANO中，OE=

3

2

，
∴直角三角形POE中，sin∠EPO=

EO

PE

=

5

5

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、面面平行的判定，正确作出面面角，属于中档题．