Question

已知a，b∈R，a²+b²≤4，求证：|3a²-8ab-3b²|≤20．

Answer 1

分析：由于a，b∈R，a²+b²≤4，故可采用换元法，转化为利用三角函数的值域进行求解．

解答：证明：∵a，b∈R，a²+b²≤4，∴可设a=rsinα，b=rcosα，其中0≤r≤2．
∴|3a²-8ab-3b²|=r²|3cos²α-8sinαcosα-3sin²α|=r²|3cos2α-4sin2α|
=5r²|cos（2α+φ）|≤5r²≤5×2²=20．
故原不等式成立．

点评：本题以不等式为条件，考查不等式的证明，关键是换元，利用三角函数知识求解．