Question

已知sin(π-α)-cos(π+α)=

2

3

(

π

2

＜α＜π)．
求：（1）sinα-cosα；
（2）sin³（2π-α）+cos³（2π-α）．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用诱导公式化简，两边平方并利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出2sinαcosα的值，根据α的范围判断出sinα与cosα的正负，得到sinα-cosα的正负，利用完全平方公式及二次根式的性质即可求出sinα-cosα的值；
（2）原式利用诱导公式化简，再利用立方差公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：（1）∵sin（π-α）-cos（π+α）=sinα+cosα=

2

3

，
∴两边平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

2

9

，即2sinαcosα=-

7

9

，
∵

π

2

＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＞0，
则sinα-cosα=

(sinα+cosα)2-4sinαcosα

=

4

3

；
（2）sin³（2π-α）+cos³（2π-α）=-sin³α+cos³α=（cosα-sinα）（1+sinαcosα）=-

4

3

×（1-

7

18

）=-

22

27

．

点评：此题考查了三角函数的化简求值，完全平方公式，立方和公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．