Question

设函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），已知数列f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差为2的等差数列，且x₁=a²．
（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）当a=

2

时，求数列{x_n•f（x_n）}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件求出f（x₁）的值，再代入等差数列的通项公式，求出f（x_n）再由对数的运算求出x_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列的通项公式x_n•f（x_n），根据特点利用错位相减法求出前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，f(x1)=logaa2=2，且d=2，
∴f（x_n）=2+（n-1）•2=2n，即log_ax_n=2n，
∴xn=a2n，
（Ⅱ）当a=

2

时，xn•f(xn)=2n•(

2

)2n=n•2n+1，

Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1 2Sn=1•23+2•24+…+(n-1)•2n+1+n•2n+2

，
两式相减得，

-Sn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2 = 22(1-2n) 1-2 -n•2n+2=(1-n)2n+2-4

，
∴Sn=(n-1)2n+2+4．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，对数的运算，以及错位相减法求数列的前n项和S_n，考查了计算能力．