Question

20．已知函数f（x）=-$\sqrt{3}$cos2x+2cos²（$\frac{π}{4}$-x）-1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式，倍角公式及辅助角公式，可将函数f（x）的解析式化为$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，由ω=2可得f（x）的最小正周期；
（2）借助正弦函数的图象和性质，分别f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上最值，可得答案．

解答 解：（1）$f（x）=-\sqrt{3}cos2x+cos（\frac{π}{2}-2x）$（2分）
=$-\sqrt{3}cos2x+sin2x=2sin（{2x-\frac{π}{3}}）$（4分）
∵ω=2，
∴f（x）最小正周期为T=π，（6分）
（2）因为$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{3}$，
所以$-\frac{5π}{6}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$（8分）
当$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{2}$时，函数取最小值-2；
当$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$时，函数取最大值$\sqrt{3}$；
所以$-2≤2sin（{2x-\frac{π}{3}}）≤\sqrt{3}$，
所以f（x）取值范围为$[{-2，\sqrt{3}}]$．  （12分）

点评 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，难度中档．