Question

已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+2）相交于A、B两点，点O为坐标原点．
（Ⅰ）求

OA

•

OB

的值；
（Ⅱ）若△OAB的面积等于

10

，求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；
（Ⅱ）把△OAB的面积转化为两个三角形OCA，OCB的面积和，然后直接代入三角形面积公式求解．

解答：解：（I）如图，
设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由

y2=-x y=k(x+2)

得：ky²+y-2k=0．
则y1+y2=-

1

k

，y₁•y₂=-2，
∴x₁•x₂=（-y₁²）•（-y₂²）=4
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂═4-2=2；
（Ⅱ）不妨设y₁＜0，y₂＞0．
则S△OAB=

1

2

|OC|•|y2-y1|
=

1

2

×2

(y1+y2)2-4y1y2

=

(- 1 k )2-4×(-2)

=

1 k2 +8

=

10

．
解得：k=±

2

2

．
∴使△OAB的面积等于

3

的k的值为-

2

2

或

2

2

．

点评：本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．