Question

【题目】若集合具有以下性质：（1）且；（2）若，，则，且当时，，则称集合为“闭集”.

（1）试判断集合是否为“闭集”，请说明理由；

（2）设集合是“闭集”，求证：若，，则；

（3）若集合是一个“闭集”，试判断命题“若，，则”的真假，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）否，理由见详解；（2）证明见详解；（3）真命题，理由见详解

【解析】

（1）利用闭集的定义判断；
（2）利用闭集的定义证明；
（3）利用闭集的定义，先说明中均不含0，1时，，再说明，进而得出，，从而有，可得到，，即得出.

解：（1），

∴集合不是“闭集”，
（2）证明：∵集合是“闭集”，
，
故；

（3）若集合是一个“闭集”，任取，

若中有0或1时，显然；

若中均不含0，1，由定义可知：，

，

由（2）知，，即．同理可得，
若或，则显然，
若且，则，
，
，
，
故命题为真命题．