题目内容

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足，对任意x，y∈（-1，1），都有 $数学公式$ ，且对x∈（-1，0）时，f（x）＞0．
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）证明函数f（x）在（-1，0）上是减函数；
（3）证明 $数学公式$ ；
（4）比较 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的大小．

解：（1）∵f（0）+f（0）=f（0）?f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0?f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（2）∵ $\text{[math]}$
当-1＜x＜y＜1时， $\text{[math]}$ ，由条件知 $\text{[math]}$ ，
即f（x）-f（y）＞0∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∴原等式成立
（4）根据 $\text{[math]}$ 可知
$\text{[math]}$ =f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）+…+ $\text{[math]}$ =f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）
∵x∈（-1，0）时，f（x）＞0，函数f（x）是奇函数
∴f（ $\text{[math]}$ ）＜0
∴ $\text{[math]}$ =f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）+…+ $\text{[math]}$ =f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）＞f（ $\text{[math]}$ ）
分析：（1）要判定函数f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）与f（x）的关系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x即可判定，
（2）根据函数单调性的定义在（-1，1）上任意取两个值x、y，然后判定f（x）与f（y）的大小关系，从而判定函数单调性；
（3）根据 $\text{[math]}$ 求解 $\text{[math]}$ ，通过化简变形可得结论；
（4）根据第（3）问的结论可得 $\text{[math]}$ =f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）+…+ $\text{[math]}$ ，然后判定f（ $\text{[math]}$ ）的符合即可得到结论．
点评：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性性，属于中档题，函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质，单调性是函数的“局部”性质，同时考查了性质的应用．