Question

某选手进行实弹射击训练，射击中每次射击的结果是相互独立的．已知他每次射击时，命中环数ξ的分布列如下表：

ξ	8	9	10
P	0.1	0.5	0.4

该选手在训练时先射击三次，若三次射击的总环数不小于29环，则射击训练停止；若三次射击的总环数小于29环，则再射击三次，然后训练停止．
（I）求该选手在射击训练中恰好射击三次的概率；
（II）求该选手训练停止时，射击的次数η的分布列及期望．

Answer 1

分析：（I）“射击三次的总环数为30”的事件记为A，“射击三次的总环数为29”的事件记为B，然后利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求出P（A）与P（B），根据互斥事件的概率公式得P（A+B）=P（A）+P（B）；
（II）η的取值为3，6，由（Ⅰ）的结果可得分布列，最后根据数学期望的公式解之即可．

解答：解：（I）“射击三次的总环数为30”的事件记为A，“射击三次的总环数为29”的事件记为B．---（1分）
则P（A）=0.4³=0.064，P（B）=

C

1 3

0.42×0.5=0.24．----------------------------（4分）
由已知，事件A与B互斥，所以射击三次的总环数不小于29环的概率为
P（A+B）=P（A）+P（B）=0.304．----------------------------（6分）
即该选手恰好射击了三次的概率为0.304．---------------------------（7分）
（II）η的取值为3，6，由（Ⅰ）的结果可得分布列如下

η	3	6
P	0.304	0.696

Eη=3×0.304+6×0.696=5.088．
即该选手训练停止时射击的次数η的期望为5.088．---------------------------（12分）

点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率和离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了计算能力，属于中档题．