Question

1．如图所示，小波从A街区开始向右走，在每个十字路口都会遇到红绿灯，要是遇到绿灯则小波继续往前走，遇到红灯就往回走，假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的，且绿灯亮的概率都是$\frac{2}{3}$，红灯亮的概率都是$\frac{1}{3}$．

（1）求小波遇到4次红绿灯后，处于D街区的概率；
（2）若小波一共遇到了3次红绿灯，设此时小波所处的街区与A街区相距的街道数为ξ（如小波若处在A街区则相距零个街道，处在D，E街区都是相距2个街道），求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设小波遇到4次绿灯之后处于D街区为事件A，则事件A共有三个基本事件，由此能求出小波遇到4次绿灯后，处于D街区的概率．
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ分布列和数学期望．

解答 解：（1）设小波遇到4次红绿灯之后处于D街区为事件A，
则事件A共有三个基本事件，
即四次遇到的红绿灯情况分别为{红红绿绿，绿红红绿，绿绿红红}．
故$P（A）=3×{（\frac{2}{3}）^2}×{（\frac{1}{3}）^2}=\frac{4}{27}$．
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，
$P（ξ=0）={（\frac{1}{3}）^3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{5}{27}$，
$P（ξ=1）=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{6}{27}$，
$P（ξ=1）=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{8}{27}$，
$P（ξ=3）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$．
故分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{27}$

∴$E（ξ）=0×\frac{5}{27}+1×\frac{6}{27}+2×\frac{8}{27}+3×\frac{8}{27}=\frac{46}{27}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．