Question

在三角形△ABC中，BC=1，sin(A-

π

4

)=

2

10

．
（Ⅰ）求sinA的值；  
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由sin(A-

π

4

)=sinAcos

π

4

-cosAsin

π

4

=

2

10

，
即

2

2

（sinA-cosA）=

2

10

，
∴sinA-cosA=

1

5

，
∴(sinA-cosA)2=1-sin2A=

1

25

，
∴sin2A=

24

25

，且角A为锐角，
又(sinA+cosA)2=1+sin2A=1+

24

25

=

49

25

，
sinA+cosA=

7

5

，sinA+cosA=-

7

5

（舍去），
联立得：

sinA-cosA= 1 5 sinA+cosA= 7 5

，
解得：sinA=

4

5

；
（Ⅱ）设△ABC的角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，
∵sinA=

4

5

，cosA=

3

5

，
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

bc×

4

5

=

2

5

bc，
由余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bc×

3

5

，
∴1≥2bc-

6

5

bc=

4

5

bc，即bc≤

5

4

，
∴S=

2

5

bc≤

2

5

×

5

4

=

1

2

，
则△ABC面积的最大值为

1

2

．