Question

已知函数，
（1）判断函数的单调性，并用定义证明；　　　
（2）求函数的最大值和最小值．

Answer 1

（1）解：f（x）在[3，5]上为增函数．证明如下：…（2分）
设x₁，x₂是区间[3，5]上的任意两个实数且x₁＜x₂，
则…（4分）
∵3≤x₁＜x₂≤5∴2-x₁＜0，2-x₂＜0　x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0　　即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在[3，5]上为增函数…（8分）
（2）由（1）f（x）在[3，5]上为增函数，
所以f（x）在[3，5]上有最大值f（5）=-2，有最小值f（3）=-4…（12分）
分析：（1）任取3≤x₁＜x₂≤5，我们构造出f（x₂）-f（x₁）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x₂）-f（x₁）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案；
（2）根据（1）可知函数的单调性，将区间端点的值代入即可求出最大值和最小值．
点评：本题主要考查函数单调性的判断与证明，以及应用单调性求函数的最值，同时还考查了学生的变形，转化能力，属中档题．