Question

【题目】已知直线（）与轴交于点，动圆与直线相切，并且与圆相外切，

（1）求动圆的圆心的轨迹的方程；

（2）若过原点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，问是否存在以为直径的圆经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（）（2）故不存在以为直径的圆恰好过点

【解析】试题分析：（1）设出动圆圆心坐标，由动圆圆心到切线的距离等于动圆与定圆的圆心距减定圆的半径列式求解动圆圆心的轨迹方程；
（2）求出过原点且倾斜角为的直线方程，和曲线C联立后利用根与系数关系得到M，N的横纵坐标的和与积，由，得列式求解m的值，结合m的范围说明不存在以MN为直径的圆过点A．

试题解析：

（1）设动圆圆心为，则，化简得（），这就是动圆圆心的轨迹的方程.

（2）直线的方程为，代入曲线的方程得

显然.

设， ，则 ， ，

而

若以为直径的圆过点，则，

∴ 由此得

∴，即.

解得>-2

故不存在以为直径的圆过点