题目内容
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c经过点（0，0），导数f′（x）=2x+1，当x∈[n，n+1]（n∈N*）时，f（x）是整数的个数记为an．
（1）求a、b、c的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）令bn=
，求{bn}的前n项和Sn．
（1）求a、b、c的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）令bn=
| 2 |
| anan+1 |
（1）∵f（0）=c=0
∴c=0，
f′（x）=2ax+b=2x+1
∴a=1，b=1
（2）依题意可知an=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1=2（n+1）+1，an+1=（n+2）（n+3）-（n+1）（n+2）+1=2（n+2）+1，
∴a（n+1）-an=2，a1=5
∴数列{an}是以5为首项，2为公差的等差数列，
∴an=5+（n-1）×2=2n+3
（3）bn=
=
-
，{bn}的前n项和 Sn=
-
+
-
+…+
--
=
--
=
∴c=0，
f′（x）=2ax+b=2x+1
∴a=1，b=1
（2）依题意可知an=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1=2（n+1）+1，an+1=（n+2）（n+3）-（n+1）（n+2）+1=2（n+2）+1，
∴a（n+1）-an=2，a1=5
∴数列{an}是以5为首项，2为公差的等差数列，
∴an=5+（n-1）×2=2n+3
（3）bn=
| 2 |
| anan+1 |
| 1 |
| 2n+3 |
| 1 |
| 2n+5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 2n+3 |
| 1 |
| 2n+5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2n+5 |
| 2n |
| 5(2n+5) |
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