Question

设正项等比数列{a_n}的首项，前n项和为S_n，且2¹⁰S₃₀－(2¹⁰＋1)S₂₀＋S₁₀＝0．

(1)求{a_n}的通项；

(2)求{nS_n}的前n项和T_n．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0， 　　得210(S30－S20)＝S20－S10， 　　即210(a21＋a22＋…＋a30)＝a11＋a12＋…＋a20， 　　可得210·q10(a11＋a12＋…＋a20)＝a11＋a12＋…＋a20． 　　因为an＞0，所以210q10＝1．解得． 　　因而an＝a1qn－1＝，n＝1，2，…． 　　(2)因为{an}是首项，公比的等比数列，故， 　　． 　　则数列{nSn}的前n项和， 　　． 　　两式相减，得 　　，即 　　． 　　思路分析：将已知关系式变形，提取公因式210，并且应用整体的观点求出公比来．这样，数列的通项就找到了．在求Tn时，首先找到新数列的通项，分成两个部分分别求和，其中要用到错位相减法．