Question

设正项等比数列{a_n}的首项a₁=

1

2

，前n项的和为S_n，2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项；
（Ⅱ）求{nS_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据等比数列的性质利用条件方程解等比数列的公比，然后求{a_n}的通项；
（Ⅱ）求出前n项的和为S_n，以及{nS_n}的通项公式，然后利用分组求和和错位相减法求T_n．

解答：解：（Ⅰ）若q=1时，2¹⁰•30a₁-（2¹⁰+1）20a₁+10a₁=0．a₁=0与已知矛盾，
∴q≠1，
则由2¹⁰•S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0
可得210•S30-210•S20=S20-S10，
即2¹⁰?（S₃₀-S₂₀）=S₂₀-S₁₀，
∴210?(S20-S10)q10=S20-S10，
∵q≠1，
∴S₂₀-S₁₀≠0，
∴2¹⁰?q¹⁰=1，
即q10=

1

210

=(

1

2

)10，
∴q=±

1

2

，
又∵a_n＞0，∴q＞0且q≠1
∴q=

1

2

，
∴an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，n≥1．
（Ⅱ）∵an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，n≥1．
∴Sn=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，
即nSn=n-

n

2n

，
∴{nS_n}的前n项和T_n=（1+2+…+n）-（

1

2

+

2

22

+???+

n

2n

）=

n(n+1)

2

-（

1

2

+

2

22

+???+

n

2n

），

1

2

Tn=

n(n+1)

4

-(

1

22

+

2

23

+???+

n

2n+1

)，
两式相减得

1

2

Tn=

n(n+1)

4

-(

1

2

+

1

22

+???+

1

2n

-

n

2n+1

)=

n(n+1)

4

-(

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

)=

n(n+1)

4

-(1-

1

2n

-

n

2n+1

)，
∴Tn=

n(n+1)

2

-2+

1

2n-1

-

n

2n

．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式以及前n项和公式，以及利用错位相减法求数列的和，运算量大，综合性较强，难度较大．