Question

中心在原点O的椭圆的左焦点为F（-1，0），上顶点为（0，

3

），P₁、P₂、P₃是椭圆上任意三个不同点，且∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，则

1

|FP1|

+

1

|FP2|

+

1

|FP3|

=（　　）

• A、2
• B、3
• C、1
• D、-1

Answer 1

分析：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由题意知c=1，b=

3

，a=2故所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
记椭圆的右顶点为A，并设∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），假设 0≤α1＜

2π

3

，且 α2=α1+

2π

3

，α3=α1+

4π

3

又设点P_i在l上的射影为Q_i，因椭圆的离心率 e=

c

a

=

1

2

，从而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e=(

a2

c

-c-|FPi|cosαi)e=

1

2

(9-|FPi|cosαi)（i=1，2，3）．由此入手能够推导出

1

|F1P1|

+

1

|F1P2|

+

1

|F1P3|

，根据对称性可知

1

|FP1|

+

1

|FP2|

+

1

|FP3|

为定值，并能求出此定值．

解答：解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由题意知c=1，b=

3

，a=2故所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
记椭圆的右顶点为A，并设∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），不失一般性，
假设 0≤α1＜

2π

3

，且 α2=α1+

2π

3

，α3=α1+

4π

3

又设点P_i在l上的射影为Q_i，因椭圆的离心率 e=

c

a

=

1

2

，从而有|F₁P_i|=|P_iQ_i|•e=(

a2

c

-c-|F1Pi|cosαi)e=

1

2

(3-|F1Pi|cosαi)（i=1，2，3），解得

1

|F1Pi|

=

2

3

(1+

1

2

cosαi)（i=1，2，3）
因此

1

|F1P1|

+

1

|F1P2|

+

1

|F1P3|

=

2

3

[3+

1

2

(cosα1+cos(α1+

2π

3

)+cos(α1+

4π

3

))]，
而 cosα1+cos(α1+

2π

3

)+cos(α1+

4π

3

)=cosα1-

1

2

cosα1-

3

2

sinα1-

1

2

cosα1+

3

2

sinα1=0，
故

1

|F1P1|

+

1

|F1P2|

+

1

|F1P3|

=2，根据对称性可知

1

|FP1|

+

1

|FP2|

+

1

|FP3|

=2．
故选A．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题中的隐含条件．