Question

如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点P₁，P₂，P₃，使∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，证明：

1

|FP1|

+

1

|FP2|

+

1

|FP3|

为定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由题意知a=6，b=

a2-c2

=

27

=3

3

，故所求椭圆方程为

x2

36

+

y2

27

=1．
（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），假设0≤α1＜

2π

3

，且α2=α1+

2π

3

，α3=α1+

4π

3

，又设点P_i在l上的射影为Q_i，因椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

，从而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e=(

a2

c

-c-|FPi|cosαi)e=

1

2

(9-|FPi|cosαi)（i=1，2，3）．由此入手能够推导出

1

|FP1|

+

1

|FP2|

+

1

|FP3|

为定值，并能求出此定值．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1
因焦点为F（3，0），故半焦距c=3
又右准线l的方程为x=

a2

c

，从而由已知

a2

c

=12，a2=36，
因此a=6，b=

a2-c2

=

27

=3

3

故所求椭圆方程为

x2

36

+

y2

27

=1
（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），不失一般性，
假设0≤α1＜

2π

3

，且α2=α1+

2π

3

，α3=α1+

4π

3

又设点P_i在l上的射影为Q_i，因椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

，从而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e=(

a2

c

-c-|FPi|cosαi)e=

1

2

(9-|FPi|cosαi)（i=1，2，3）
解得

1

|FPi|

=

2

9

(1+

1

2

cosαi)（i=1，2，3）
因此

1

|FP1|

+

1

|FP2|

+

1

|FP3|

=

2

9

[3+

1

2

(cosα1+cos(α1+

2π

3

)+cos(α1+

4π

3

))]，
而cosα1+cos(α1+

2π

3

)+cos(α1+

4π

3

)=cosα1-

1

2

cosα1-

3

2

sinα1-

1

2

cosα1+

3

2

sinα1=0，
故

1

|FP1|

+

1

|FP2|

+

1

|FP3|

=

2

3

为定值．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题中的隐含条件．